Persamaan dan Pertidaksamaan Bulat

 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN BULAT

1. Metode Faktorisasi

Dasar:

- Setiap bilangan bulat tak nol memiliki berhingga faktor.

- Ada beberapa bentuk aljabar yang bisa dituliskan dalam perkalian beberapa bentuk aljabar yang lain.

Contoh:

1. Carilah pasangan solusi bulat (x,y) sehingga

xy=2021

Jawab:

Sudah bentuk faktorisasi, tinggal pakai metode ke-7 yaitu faktorisasi prima. Faktorisasinya 2021=43.47. Pasangan solusinya ada

(1,2021),(43,47),(47,43),(2021,1)(-1,-2021),(-43,-47),(-47,-43),(-2021,-1)

2. Carilah pasangan solusi bilangan asli (x,y) sehingga

x^2 y=20^2

Jawab:

Sudah bentuk faktorisasi, pakai metode ke-7.

3. Carilah solusi bulat dari persamaan

x^3+y^3=19

Jawab:

(x+y)(x^2-xy+y^2 )=19

yang kiri tergantung pada faktor dari 19.

* x+y=1 maka y=1-x dan 

x^2-xy+y^2=19

x^2-x(1-x)+(1-x)^2=19

x^2-x+x^2+1-2x+x^2=19

3x^2-3x-18=0

x^2-x-6=0

(x-3)(x+2)=0

** x=3 maka y=-2

** x=-2 maka y=3

* x+y=19 lakukan yang sama

x^2-xy+y^2=1

x^2-x(19-x)+(19-x)^2=1

3x^2-3.19x+19^2-1=0

3x^2-3.19x+18.20=0

x^2-19x+120=0

kita pakai metode kedua

(x-19/2)^2+29,25=0

satunya tak negatif, satunya positif, tapi jumlahnya nol. Tidak mungkin, jadi tidak ada solusi.

* x+y=-1

* x+y=-19

Sekilas:

1. xy+xz=x(y+z).

2. x^2+2xy+y^2=(x+y)^2.

3. ux+uy+vx+vy=(u+v)(x+y).

4. mn+m+n+1=(m+1)(n+1).

5. x^2-y^2=(x-y)(x+y)

dst

Latihan 1

1. Banyaknya pasangan bilangan bulat positif (m,n) sehingga nm=9m+3n+1 adalah …

Jawab:

nm-3n=9m+1

n(m-3)=9m+1

coba bikin kentuk m-3 di ruas kanan

n(m-3)=9(m-3)+28

(n-9)(m-3)=28

Kemungkinan m-3 adalah faktor dari 28 dengan m-3≥-2 karena m≥1. Faktor dari 28 yang memenuhi

-2,-1,dan yang positif

Tapi kalau dicek m-3=-2 maka n-9=-14 akibatnya n negatif. Kalau dicek juga m-3=-1 juga menyebabkan n negatif. Jadi hanya faktor positif dari 28 yang memenuhi. Karena 28=2^2.7 maka banyak solusi ada (2+1)(1+1)=6.

 

2. Tentukan banyaknya solusi bulat positif (m,n) dari persamaan 

9/m+8/n=1

Jawab:

mn=9n+8m

n(m-9)=8m

n(m-9)=8(m-9)+72

(n-8)(m-9)=72

ada sebanyak faktor positif dari 72=2^3.3^2 yaitu (3+1)(2+1)=12.

3. Banyaknya solusi bulat positif (x,y,z) untuk sistem persamaan

{█(xy+yz=63@xz+yz=23)┤

adalah …

Jawab:

Pastikan yang kanan faktornya nggak banyak, 

(x+y)z=23

maka x+y=1 atau x+y=23. Tapi kan x+y≥1+1=2 maka x+y=23 dan z=1 lihat yang pertama

xy+y=63

(x+1)y=63

(x+1)(23-x)=63

23+22x-x^2=63

0=x^2-22x+40

0=(x-2)(x-20)

maka x=2 atau x=20. Ada 2 pasang yaitu (x,y,z)=(2,21,1),(20,3,1).

4. Banyaknya bilangan asli n>1 sehingga

2011(1-1/2^2 )(1-1/3^2 )(1-1/4^2 )…(1-1/n^2 )

merupakan bilangan bulat adalah …

Jawab:

(1-1/2^2 )(1-1/3^2 )(1-1/4^2 )…(1-1/n^2 )

=(1-1/2)(1+1/2)(1-1/3)(1+1/3)(1-1/4)(1+1/4)…(1-1/n)(1+1/n)

=(1-1/2)(1-1/3)(1-1/4)…(1-1/n)(1+1/2)(1+1/3)(1+1/4)…(1+1/n)

=1/2.2/3.3/4…..(n-1)/n.3/2.4/3.5/4…..(n+1)/n  

=1/n.(n+1)/2

maka soal menjadi

2011(n+1)/2n=(2010n+(n+2011))/2n=1005+(n+2011)/2n

tamppak pada ruas kanan, pecahan (n+2011)/2n harus bulat. Itu artinya 2n harus habis membagi n+2011. Maka n habis membagi n+2011 yang berakibat n|2011. Karena 2011 prima dan n>1 maka n=2011. Tinggal cek ke

2011(n+1)/2n=1006

oke. Jadi cuma ada 1 yaitu 2011.

5. Tentukan jumlah semua bilangan asli n yang memenuhi persamaan

(█(n+2@2))=28

Jawab:

Jadi

(n+2)(n+1)/2=28

n^2+3n+2=56

n^2+3n-54=0

(n-6)(n+9)=0

karena n asli maka n=6.

2. Metode Penjumlahan Bentuk Kuadrat

Dasar:

- Kuadrat sebarang bilangan real tak negatif.

Contoh:

1. Carilah solusi bulat dari persamaan

x^2+xy+y^2=3

Jawab:

Kalikan 2 didapat

x^2+x^2+2xy+y^2+y^2=6

x^2+(x+y)^2+y^2=6

karena bilangan kuadrat tak negatif maka

x,(x+y)^2,y^2≤6

kemungkinannya x^2,(x+y)^2,y^2∈{0,1,4}.

* Jika x^2=0 maka (x+y)^2+y^2=6 nggak mungkin.

* Jika x^2=1 maka (x+y)^2+y^2=5. Kemungkinannya ada 2:

** y^2=1 maka (x+y)^2=2 pasangan yang mungkin (-1,-1),(1,1)

** y^2=4 maka (x+y)^2=1 pasangan yang mungkin (1,-2),(-1,2)

* Jika x^2=4 maka (x+y)^2+y^2=1. Kemungkinannya ada 2:

** y^2=0 ini nggak mungkin

** y^2=1 maka (2,-1),(-2,1).

Latihan 2

1. Carilah semua solusi bulat persamaan

x^2+xy+y^2+x+y=0

Jawab:

Kalikan 2

2x^2+2xy+2y^2+2x+2y=0

(x+y)^2+(x+1)^2+(y+1)^2=2

maka (x+y)^2,(x+1)^2,(y+1)^2≤2. Ada beberapa kemungkian:

* (x+y)^2=0 dan (x+1)^2=(y+1)^2=1

maka  x+y=0 kemungkinan x=0,-2 dan y=0,-2. Yang oke (x,y)=(0,0).

* (x+1)^2=0

* (y+1)^2=0

2. Carlilah nilai x bulat sehingga

4^x+9^x+1=2^x+3^x+6^x

Jawab:

Misal a=2^x dan b=3^x.

3. Metode FPB

Dasar:

- Setiap pasang bilangan memiliki faktor persekutuan terbesar.

Tujuan:

-Menyingkat pencarian solusi

Contoh:

1. Carilah pasangan bilangan asli (x,y) sehingga

x^2+3y^2=300

Jawab:

Misal d adalah fpb⁡〖(x,y)〗. Maka d|x dan d|y. Tuliskan, x=da dan y=db substitusikan

d^2 (a^2+3b^2 )=300

artinya kemungkinan fpb(x,y) bilangan kuadrat yang merupakan faktor dari 300=2^2.〖3.5〗^2. Kemungkinan nilai fpb adalah 1, 4, 25, atau 100. Ada 4 kasus:

* a^2+3b^2=300

* a^2+3b^2=75. Pakai tinjau 3|a^2 mainkan keterbagian.

* a^2+3b^2=12. Maka (a,b)=(3,1).

* a^2+3b^2=3. Nggak ada solusi

2. Cari pasangan (a,b) sehingga a^2+b^2=3ab. 

Jawab:

Misal d=fpb(a,b) maka d|a dan d|b sehingga a=dm dan b=dn maka

d^2 m^2+d^2 n^2=3d^2 mn

sifatnya fpb(m,n)=1. Padahal

m^2+n^2=3mn

dari sini tampak ruas kanan kelipatan dari m, maka ruas kiri juga. Nantinya n=1. Dengan cara yang sama m=1. Tidak solusi.

Latihan 3

1. Carilah banyaknya pasangan bilangan rasional (x,y) dengan sifat

x^2+y^2=x^3+y^3

4. Metode Batas

Dasar:

- Untuk setiap bilangan real x terdapat bilangan bulat terkecil m sehingga m≥x.

- Untuk setiap bilangan real x terdapat bilangan bulat terbesar n sehingga n≤x.

Contoh:

1. Carilah bilangan bulat n terbesar yang kurang dari √2021. 

Jawab:

Perhatikan bahwa 44^2=1936 dan 45^2=2025, jawabnya 45.

2. Cari banyaknya bilangan bulat diantara √2021 dan ∛2021.

Latihan 4

1. Carilah bilangan asli terbesar n sehingga

(1+2+⋯+n)/n<2021

Jawab:

(1/2 n(n+1))/n<2021

(n+1)/2<2021

n<2.2021-1=4041

maka n terbesar adalah 4040.

2. Diberikan bilangan bulat positif n. Hitunglah jumlah semua bilangan genap diantara n^2-n+1 dan n^2+n+1.

Jawab:

Perhatikan n^2-n=n(n-1) perkalian dua bilangan berurutan yang hasilnya pasti genap. Demikian juga n^2+n=n(n+1). Artinya suku2 yang dijumlahkan

(n^2-n+2)+(n^2-n+4)+⋯+(n^2-n+2n)

3. Banyaknya bilangan 2 digit (MT) ̅ sedemikian sehingga  (MT) ̅<3×(TM) ̅ adalah …

4. Banyaknya solusi bulat dari pertidaksamaan x^4≤x^2+2013 adalah …

5. Persamaan Bentuk Klasik

Dasar:

- Bentuk persamaan linear ada yang memiliki solusi bulat.

Latihan 5

1. Ada bilangan 2 digit yang jumlah dari tujuh kali digit pertama dan tiga kali digit kedua merupakan bilangan tersebut. Berapakah jumlah dari bilangan-bilangan yang memenuhi kondisi tersebut?

2. Pasangan bilangan bulat positif (x,y) yang memenuhi persamaan 11x+3y=2013 ada sebanyak …

6. Sifat Keterbagian

Dasar:

- Beberapa teorema terkait keterbagian bilangan bulat.

Latihan 6

1. Jika  (a553b) ̅ adalah bilangan lima angka yang habis dibagi 88. Tentukan a+b.

2. Jika r adalah sisa pembagian bilangan-bilangan 1059, 1417, dan 2312 jika dibagi oleh d, dengan d merupakan bilangan bulat yang lebih dari 1, maka nilai r sama dengan …

3. Carilah bilangan asli terbesar yang semua angkanya berbeda dan merupakan kelipatan 8.

4. Banyaknya bilangan 3 angka  (abc) ̅ yang memenuhi sifat a+c=2b adalah …

5. Carilah bilangan asli n sehingga n≥2013 memenuhi sifat bahwa bilangan n bersisa 6 jika dibagi 7 dan bersisa 2 jika dibagi 3.

6. Tentukan jumlah semua bilangan asli kurang dari 50 dengan sifat digit puluhan dan digit satuan dari kuadrat bilangan tersebut berturut-turut berbentuk 2k dan k+1 untuk suatu bilangan asli k.

7. Tentukan banyaknya bilangan asli n sehingga

3n-4,4n-5,5n-13

ketiganya merupakan bilangan prima.

8. Tentukan banyaknya bilangan asli n, 1≤n≤25 sehingga

n^2+25n+2014

habis dibagi 6.

9. Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat positif (x,y) yang memenuhi

x^2+y^2= 2014911

7. Metode Faktorisasi Prima

Dasar:

- Setiap bilangan asli yang lebih dari 1 memiliki faktorisasi prima tunggal.

Latihan 7

1. Banyaknya bilangan bulat positif yang merupakan elemen dari himpunan {1000,1001,1002,…,10000} yang bukan merupakan bilangan kuadrat dan bukan merupakan bilangan kubik (bilangan pangkat tiga) adalah …

2. Banyaknya triple bilangan bulat positif (a,b,c) sedemikian sehingga a^4 b^2 c=54000 adalah …

3. Tentukan banyaknya bilangan bulat positif lebih dari 2014 yang merupakan faktor dari 〖3.5〗^2.11^7.13^8.