Peluang - Olimpiade Matematika SMP

 PELUANG

1. Istilah

- Percobaan: Apa yang kita lakukan itu merupakan suatu percobaan.

Contoh: Percobaan melempar sebuah dadu sekali.

- Ruang Sampel: Himpunan semua keluaran(hasil) dari percobaan.

Contoh: Pada percobaan melempar sebuah dadu sekali, ruang sampelnya {1,2,3,4,5,6}.

- Kejadian: Bagian dari hasil percobaan yang diinginkan atau ingin diamati. Bentuknya himpunan yang merupakan subset dari ruang sampel.

Contoh: Kejadian muncul mata dadu genap pada pelemparan. Bisa dituliskan dalam himpunan {2,3,5}.

- Peluang: Perbandingan antara banyaknya anggota kejadian dengan banyaknya anggota ruang sampel.

Contoh: Misal

S: Ruang sampel percobaan melempar sebuah dadu sekali.

A: Kejadian muncul mata dadu prima pada percobaan melempar sebuah dadu sekali.

maka

A={2,3,5} 

S={1,2,3,4,5,6} 

sehingga

n(A)=3 

n(S)=6 

Peluang kejadian A adalah

p(A)=n(A)/n(S) =3/6=1/2

Sifat 1:

Karena A⊂S maka 0≤n(A)≤n(S) dan

0≤p(A)=n(A)/n(S) ≤1

- Komplemen dari kejadian: Merupakan kejadian kebalikan dari suatu kejadian.

Contoh:

Kejadian A adalah kejadian munculnya mata dadu prima.

Komplemen kejadian A adalah kejadian munculnya mata dadu bukan prima.

Komplemen kejadian A ditulis A^C. Misal S adalah ruang sampel, maka

A^C=S\A

yaitu himpunan yang diperoleh dari membuang subset A dari himpunan S.

Kejadian muncul mata dadu prima A maka

A^C={1,4,6}

Sifat 2:

Peluang komplemen dari A memenuhi sifat

p(A^C )=1-p(A)

Bukti:

Karena A^C=S\A maka n(A^C )=n(S)-n(A). Bagi dengan n(S) diperoleh

n(A^C )/n(S) =1-n(A)/n(S) 

sehingga

p(A^C )=1-p(A)

………………………………………………………………………….....(BATAS KEJADIAN TUNGGAL)

Diberikan beberapa kejadian, karena kejadian itu himpunan, maka operasi-operasi himpunan bekerja di sini.

Misal ada kejadian A dan B

1. Irisan (A∩B): Yaitu jika kejadian A dan kejadian B terjadi sekaligus. 

Contoh: 

Kejadian muncul mata dadu genap sekaligus prima.

A: kejadian muncul mata dadu genap. Ditulis A={2,4,6}

B: kejadian muncul mata dadu prima. Ditulis B={2,3,5}

Kejadian yang dimaksud adalah A∩B={2}.

Kata penghubung yang dipakai “dan”, “sekaligus”.

2. Gabungan (A∪B): Yaitu jika kejadian A dan kejadian B terjadi minimal salah satu.

Contoh:

Kejadian muncul mata dadu genap atau prima.

A: kejadian muncul mata dadu genap. Ditulis A={2,4,6}

B: kejadian muncul mata dadu prima. Ditulis B={2,3,5}

Kejadian yang dimaksud adalah A∪B={2,3,4,5,6}.

Kata penghubungnya “atau”.

Perhatikan bahwa, kapan dua kejadian dapat dicari irisan maupun gabungannya? Kalau percobaannya sama.

3. Mutually Exclusive (Saling Lepas): 

Dipakai untuk menggambarkan 2 kejadian dapal satu percobaan yang irisan keduanya kosong.

Contoh:

Kejadian A kejadian muncul mata dadu prima.

Kejadian B kejadian muncul mata dadu {4}. 

Keduanya tidak beririsan, maka disebut saling lepas atau mutually exclusive.

Ada sifat

n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)

bagi dengan n(S) maka

p(A∪B)=p(A)+p(B)-p(A∩B)

ketika A dan B saling lepas maka

p(A∩B)=0

akibatnya

p(A∪B)=p(A)+p(B)

4. Independent (Saling Bebas):

Dipakai untuk menggambarkan 2 kejadian, dalam percobaan berbeda, yang satu tidak mempengaruhi yang lain.

a. Ada seorang ibu, punya 2 anak, kakak dan adik. Jika kakaknya laki-laki peluang adiknya laki-laki adalah … 

A: Kejadian kakaknya laki-laki.

B: Kejadian adiknya laki-laki.

Kejadian A dan B independent, tidak saling mempengaruhi. Peluangnya

p(B│A)

yaitu peluang B dengan syarat A.

Ruang sampelnya S={(m,n)│m jenis kelamin kakak,n adik}. Hasilnya S={(L,P),(L,L)} dan B|A={(L,L)}. Peluang adiknya laki-laki

p(B│A)=1/2

Sama kayak kakanya tidak punya ppengaruh sama sekali.

Kejadian A dan B tersebut disebut saling bebas. Cirinya ketika syarat A dikenakan ke B, peluang pas dihitung biasa dan dengan syarat tidak berubah.

Perhatikan bahwa A dan B independen. Kemudian kalau kita hitung

P(A)=1/2

karena peluang laki2 setengah. Demikian juga P(B) ini juga 1/2. Karena keduanya independen maka

p(A∩B)=p(A).p(B)=1/2.1/2=1/4

Peluang bersyarat rumusnya

p(A∩B)=p(A).p(B|A)

maka

p(B│A)=p(A∩B)/p(A) =(1/4)/(1/2)=1/2

b. Ada seorang ibu, punya 2 anak, kakak dan adik. Diketahui setidaknya satu anaknya perempuan. Jika kakaknya laki-laki peluang adiknya laki-laki adalah …

Ruang sampelnya S={(L,P)} dan kejadian B|A=∅ maka

p(B│A)=0

Kejadian A dan B tersebut tidak saling bebas.

SOAL LATIHAN

1. Dua dadu seimbang dilempar bersamaan. Berapa peluang jumlah mata dadu yang muncul 2 atau 4?

Jawab:

Ruang sampel S={(a,b)│a,b∈{1,2,3,4,5,6} }, sehingga

n(S)=6.6=36

Kejadian 

A: muncul mata dadu berjumlah 2. Didapat A={(1,1)}.

B: muncul mata dadu berjumlah 4. Didapat B={(3,1),(2,2),(1,3)}.

A∪B={(1,1),(3,1),(2,2),(1,3)}

yang ditanya

p(A∪B)=n(A∪B)/n(S) =4/36=1/9

Perhatikan A dan B saling lepas maka

p(A∪B)=p(A)+p(B)=1/36+3/36=4/36=1/9

2. Diberikan 3 kotak A, B, C, yang masing-masing berisi 1 bola hitam dan 4 bola putih. Satu bola diambil secara acak dari masing-masing kotak. Berapa peluang semua bola yang terambil berwarna putih? Berapa peluang tepat dua bola yang terambil berwarna putih?

Jawab:

A: kejadian kotak A terambil putih.

B: kejadian kotak B terambil putih.

C: kejadian kotak C terambil putih.

yang diminta

p(A∩B∩C)

ketiganya independen maka

p(A∩B∩C)=p(A).p(B).p(C)=4/5.4/5.4/5=64/125

Kalau tepat 2 putih, manual

p(A∩B∩C)=p(A^C ).p(B).p(C)+p(A).p(B^C ).p(C)+p(A).p(B).p(C^C )

=1/5.4/5.4/5+4/5.1/5.4/5+4/5.4/5.1/5=48/125

3. Tiga dadu seimbang dilempar bersamaan. Misalkan k menyatakan hasil kali mata dadu yang muncul. Berapakah peluang k ganjil?

Jawab:

Semuanya harus ganjil kalau pengen k ganjil

A: kejadian muncul ganjil pada dadu pertama

B: kejadian muncul ganjil pada dadu kedua

C: kejadian muncul ganjil pada dadu ketiga

p(A∩B∩C)=p(A).p(B).p(C)=3/6.3/6.3/6=1/8

4. Tiga dadu seimbang dilempar bersamaan. Berapa peluang jumlahnya 5?

Jawab:

Pecobaan melempar 3 dadu

n(S)=6.6.6=216

Hasilnya misal keluarannya adalah a,b,c

a+b+c=5

dengan 1≤a,b,c≤6. Tinggal ganti a=x+1,b=y+1,c=z+1, tulis ulang jadi

x+1+y+1+z+1=5

x+y+z=2

dengan x,y,z≥0. Solusinya ada

n(A)=(2+2)!/2!2!=6

hasilnya

p(A)=6/216=1/36

5. Sebuah koin dilempar tiga kali. Berapa peluang muncul 1 gambar dan 2 angka?

Jawab:

Kayak tadi GGA dipermutasi kemudian dikalikan peluangnya 1/2.1/2.(1-1/2)

3!/2!1!.1/2.1/2.(1-1/2)=3/8

6. Sebuah koin dilempar dua kali. Diketahui gambar muncul minimal sekali. Berapa peluang muncul keduanya gambar?

Jawab:

Ini kan ada 3 kemungkinan: {A,A}, {G,A}, {G,G}. Apakah ketiganya equally likely. Maknanya peluangnya sama untuk muncul. Ketiganya tidak equally likely.

Dilempar 2 kali itu ada urutan, AA, AG, GA, GG. Jadi

S={AG,GA,GG}

dan kejadiannya

A={GG}

peluangnya 

1/3

7. Dalam suatu permainan, diberikan 49 bola yang masing-masing bernomor 1 sampai 49. Peserta dalam satu giliran mengambil secara berurutan 6 bola. Seorang peserta menang jika dia memperoleh bola berurutan 6-31-7-19-28-10. Berapa peluang peserta langsung menang dalam sekali giliran?

Jawab:

(dengan pengembalian atau tanpa pengembalian?)

tanpa pengembalian

1/49.1/48.1/47.1/46.1/45.1/44  

dengan pengembalian

1/49^6 

modif

a. Jika harus mendapatkan {6,31,7,19,28,10} dengan urutan bebas, berapa peluang berhasil di giliran pertama? dengan pengembalian.

Jawab:

6/49.5/49.4/49.3/49.2/49.1/49  

b. Jika harus mendapatkan {6,31,7,19,28,10} dengan urutan bebas, berapa peluang berhasil di giliran pertama? tanpa pengembalian.

Jawab:

6/49.5/48.4/47.3/46.2/45.1/44

c. Jika gilirannya menjadi 7 pengambilan, berapa peluang menang dalam sekali giliran harus dapat {6,31,7,19,28,10} dengan urutan bebas? dengan pengembalian.

Jawab:

Satu yang didapat lainnya itu ada 49-6=43 pilihan. Posisi dimana gagal ambil ada 7 tempat. Kemungkinannya ada

43.7.6!

semuanya ada

49^6

peluangnya

43.7.6!/49^6 

d. Jika gilirannya menjadi 7 pengambilan, berapa peluang menang dalam sekali giliran harus dapat {6,31,7,19,28,10} dengan urutan bebas? tanpa pengembalian.

Jawab:

43.7.6!/49.48.47.46.45.44

e. Jika gilirannya menjadi 7 pengambilan, berapa peluang menang dalam sekali giliran harus dapat {6,31,7,19,28,10} dengan urutan sesuai soal awal tidak harus berurutan? dengan pengembalian.

f. Jika gilirannya menjadi 7 pengambilan, berapa peluang menang dalam sekali giliran harus dapat {6,31,7,19,28,10} dengan urutan sesuai soal awal tidak harus berurutan? tanpa pengembalian. 

g. Jika gilirannya menjadi 20 pengambilan, berapa peluang menang dalam sekali giliran harus dapat {6,31,7,19,28,10} dengan urutan bebas? Tanpa pengembalian, tanpa harus menunggu gilirannya selesai. Kalau sudah dapat {6,31,7,19,28,10} di kurang dari 20 pengambilan, permainan berakhir.

8. There are 3 white balls and 1 black ball in a box. Two people play a game in the following way: Each person draws a ball from the box alternatively without replacement, until the black ball is drawn, and the one gets the black ball will be the winner. In order to maximize your winning chance, would you choose drawing the first ball?

Jawab:

Ada 3 bola putih dan 1 bola hitam di dalam sebuah kotak. Dua orang bermain permainan berikut: Setiap orang secara bergantian mengambil satu bola tanpa pengembalian sampai satu bola hitam terambil. Yang mengambil bola hitam adalah pemenangnya. Untuk memaksimalkan peluang menang, kamu memilih giliran pertama atau kedua?

Giliran pertama menang:

a. Langsung. Peluangnya

1/4

b. Gagal-gagal-berhasil.

3/4.2/3.1/2=1/4

Total 

1/2

Giliran kedua berhasil

a. Gagal-Berhasil

3/4.1/3=1/4

b. Gagal-Gagal-Gagal-Berhasil

3/4.2/3.1/2.1=1/4

Total 

1/2

Sama saja mau yang pertama atau kedua.

9. In a 40-student class, what is the probability that at least two students have the same birthday? We assume that there are 365 days in each year to simplify our questions.

Jawab:

Komplemen

10. Suppose there are fair coins and two types of biased coins in a bag. The numbers of them in the bag are 4, 5 and 6, and the probabilities of tossing a head using each types are 0.5, 0.3, and 0.6 respectively. If a coin is drawn randomly from the bag and tossed, what is the probability of tossing a head?

11. Suppose two positive numbers are chosen randomly from 1 to 50. What is the probability that their difference is divisible by 3?

12. There are 5 pairs of identical socks in a bag. Suppose 2 socks are drawn, what is the probability that they form a good pair?

13. David and Ryan play a game with the following rules. There are 4 red balls, 1 white ball and 1 black ball in a box. They draw a ball from the box alternately, without replacement, until a white or black ball is drawn. If one draws a white ball, he will win. But if he draws a black ball, he will lose. What is the probability that David will win the game if he is the first drawer?

14. A and B play a game under the following rule: They throw a fair dice alternately, with A being the first thrower, until one can throw a “six”. The one throw the “six” can win the game. What is the probability that B can win the game?

15. Consider 3 boxes. Box A contains 2 white balls and 4 red balls; Box B contains 8 white balls and 4 red balls; and Box C contains 1 white ball and 3 red balls. If 1 ball is selected from each box, and it is found that exactly 2 white balls were selected, what is the probability that the ball chosen from Box A was white?

16. Suppose two positive numbers are chosen randomly from 1 to 50. What is the probability that their sum is divisible by 3?